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Fonte principal: NEVES, Fernando Luiz. Método numérico para cálculo de balanço de massa em hidrociclones operando em três estágios. O Papel, jul. 1995, p. 44–49.

Quem já tentou dimensionar um sistema de depuração por hidrociclones sabe que a escolha do modelo no catálogo é a parte fácil. O difícil começa quando os cleaners são dispostos em cascata: o rejeito de um estágio alimenta o seguinte, o aceite do último volta para o anterior, e cada vazão passa a depender de todas as outras. Sem fechar o balanço de massa, não dá para saber quantos cleaners instalar, quanta água branca diluir em cada ponto, nem quanta fibra vai parar no tratamento de efluentes.

Este post explica, passo a passo, o método numérico publicado por Fernando Neves na revista O Papel em 1995 para calcular uma bateria de cleaners em três estágios.

1. Para que serve um sistema de hidrociclones

Um hidrociclone, ou cleaner, é um equipamento sem partes móveis que separa partículas por diferença de densidade. A suspensão entra tangencialmente na parte cônica e forma um vórtice. As partículas mais densas que a fibra, como areia, fragmentos metálicos e outros contaminantes pesados, são lançadas contra a parede e descem até o orifício inferior, de onde saem como rejeito. A polpa limpa sai pelo centro, na parte superior, como aceite.

Na prática, o cleaner cumpre dois papéis ao mesmo tempo:

• Depuração: retira da polpa as partículas que causam manchas na folha, desgastam telas, feltros e lâminas e podem provocar quebras.
• Espessamento do rejeito: o rejeito sai mais concentrado que a alimentação. Essa razão é o chamado fator de espessamento.

O problema é que o rejeito de um cleaner nunca é só contaminante. Ele carrega fibra boa. Como as vazões de rejeito são grandes, uma única etapa desperdiçaria fibra demais. Por isso, os hidrociclones são instalados em estágios: o rejeito do primeiro passa por um segundo, o rejeito do segundo por um terceiro, e só o rejeito do último é descartado. Esse arranjo funciona como um sistema de recuperação de fibras e garante um bom rendimento do conjunto.

É importante delimitar o escopo: o método do artigo calcula o balanço de massa de sólidos totais (consistência e vazão de cada corrente). Ele não calcula a eficiência de remoção de um contaminante específico. Isso é uma etapa posterior, que depende do balanço fechado como base.

2. Aplicações na indústria de papel e celulose

O contexto do artigo é a máquina de papel, e é nele que o cálculo faz mais sentido: os dados de entrada incluem velocidade, largura, gramatura e umidade da folha. Mas a mesma lógica de estágios em cascata aparece em várias partes do processo. As aplicações abaixo vão além do artigo e refletem práticas gerais do setor; a configuração exata varia de fábrica para fábrica.

• Sistema de aproximação da máquina de papel. A bateria de cleaners de baixa consistência fica entre o preparo de massa e a caixa de entrada. Protege a formação da folha e reduz defeitos visíveis.
• Fábricas de celulose. Depois do cozimento e da lavagem, cleaners retiram areia, casca e outros resíduos densos que passam pelas peneiras.
• Reciclagem de aparas. Cleaners de alta densidade removem grampos, areia, vidro e outros contaminantes pesados. Cleaners de baixa densidade (ou baixa consistência) ou do tipo reverso atuam sobre contaminantes mais leves, como certos plásticos e adesivos.
• Linhas de papéis especiais e de impressão e escrita. Onde o aspecto visual da folha é crítico, a depuração por estágios ajuda a controlar a contagem de pontos sujos.
• Recuperação de fibra em circuitos de água branca. A lógica de recircular o aceite do último estágio para a alimentação do anterior reaproveita fibra que, de outro modo, sairia pelo efluente.

Em todos esses casos, as mesmas perguntas se repetem. Quantos cleaners são necessários em cada estágio? Qual consistência de trabalho se adota? Quanta água de diluição entra, e onde? Quanta fibra é perdida no rejeito final? O balanço de massa responde a todas elas.

3. Conceitos que sustentam o cálculo

Vazões do cleaner. Cada hidrociclone tem uma condição ótima de operação, indicada pelo fabricante, descrita por uma vazão volumétrica de alimentação (VA) e uma de rejeito (VR), em L/min. O aceite é a diferença: VAC = VA − VR. Essa condição está ligada ao diferencial de pressão entre alimentação e aceite, e pode ser determinada experimentalmente em um sistema piloto.

Fator de espessamento (FE). É a consistência do rejeito dividida pela consistência da alimentação: FE = XR / XA. No exemplo do artigo, FE = 3: a polpa que entra a 0,50% sai no rejeito a 1,50%.

Razão de rejeito e perda de fibra por passe. Se a massa específica é a mesma em todas as correntes, a razão de rejeito em massa é igual à volumétrica, r = VR/VA. A fração da fibra que vai ao rejeito em um passe é r · FE. Com VR = 30 e VA = 600 L/min, r = 5%; com FE = 3, cerca de 15% da fibra alimentada vai ao rejeito de cada estágio. Esse número explica por que um estágio só não basta e por que a cascata recupera fibra.

Número de cleaners. Em cada estágio, os elementos trabalham em paralelo. O número necessário é a vazão total de alimentação do estágio dividida pela vazão de alimentação de um elemento: N = M / (VA · 60), com M em kg/h e VA em L/min.

4. O fluxograma de três estágios

O artigo numera 14 correntes. A figura a seguir mostra as correntes utilizadas no cálculo do balanço de massa.

Corrente	Função
1	Aceite do 1º estágio, que segue para a máquina
2	Água branca de diluição, que se junta à mistura 14 para formar a alimentação do 1º estágio
3	Massa espessa de entrada
4	Rejeito final (3º estágio)
5	Alimentação do 3º estágio
6	Alimentação do 1º estágio
7	Água branca que dilui o rejeito do 2º estágio até formar a corrente 5
8	Aceite do 2º estágio
9	Alimentação do 2º estágio
10	Rejeito do 1º estágio
11	Aceite do 3º estágio, que retorna ao 2º
12	Rejeito do 2º estágio
13	Água branca que dilui as correntes 10 e 11 até a consistência da corrente 9
14	Mistura da massa espessa (3) com o aceite do 2º estágio (8)

O ponto que complica tudo é a corrente 11. O aceite do terceiro estágio volta para a alimentação do segundo. Mas a alimentação do terceiro depende do rejeito do segundo, que depende da alimentação do segundo. É um circuito fechado: não existe uma ordem de cálculo em que cada corrente já tenha todos os seus dados prontos, sendo necessário um cálculo interativo.

5. Dados de entrada

O artigo separa os dados em dois grupos. A tabela mostra os valores do exemplo numérico publicado no artigo.

Dado	Símbolo	Exemplo do artigo
Velocidade da máquina	V	100 m/min
Largura da máquina	L	1,68 m
Gramatura	G	100 g/m²
Umidade do papel na enroladeira	U	8,0%
Consistência da alimentação do 1º estágio	X6	0,50%
Consistência da alimentação do 2º estágio	X9	0,24%
Consistência da alimentação do 3º estágio	X5	0,16%
Consistência da massa na corrente 3	X3	0,75%
Consistência da água branca	CCAB	0,06%
Fator de espessamento	FE	3
Vazão ótima de alimentação por cleaner	VA	600 L/min
Vazão ótima de rejeito por cleaner	VR	30 L/min
Diferencial de pressão ótimo (alimentação/aceite)	ΔP	1,5 kgf/cm²
Erro admitido no laço	E	1,0 × 10⁻⁶

Observe o que é entrada e o que é resultado. As consistências de cada estágio são escolhas de projeto. Já as vazões de massa espessa (corrente 3) e de água branca nova (corrente 2) são resultados: o balanço as calcula para fechar o sistema.

6. O equacionamento, passo a passo

A seguir, as equações do artigo, na ordem em que o algoritmo as usa. As consistências aparecem em fração; os fluxos, em kg/h.

6.1 Consistências conhecidas e derivadas

Todas as entradas de água têm a consistência da água branca:

X2 = X7 = X13 = CCAB

O rejeito de cada estágio sai com a consistência da alimentação multiplicada por FE:

X10 = FE · X6   X12 = FE · X9   X4 = FE · X5

O balanço de sólidos em cada cleaner resulta na consistência do aceite. Para o 1º, o 2º e o 3º estágio, respectivamente:

X1 = (VA1 · X6 − VR1 · X10) / VAC1

X8 = (VA2 · X9 − VR2 · X12) / VAC2

X11 = (VA3 · X5 − VR3 · X4) / VAC3

6.2 Produção seca

A produção seca que sai pela corrente 1 é a produção da máquina descontada a umidade:

PS = V · L · G · (60/1000) · (1 − U/100)   [kg seco/h]

Com os dados do exemplo, PS = 927,36 kg/h.

6.3 Primeiro estágio

A vazão mássica total da corrente 1 é a produção seca dividida pela sua consistência:

M1 = PS / X1

Como as massas específicas são iguais, as vazões mássicas se repartem na mesma proporção das volumétricas:

M6 = (VA1 / VAC1) · M1   M10 = (VR1 / VAC1) · M1

O primeiro estágio, portanto, é direto: nenhum dado dele depende dos estágios seguintes.

6.4 Segundo e terceiro estágios: o laço

Aqui entra a iteração. O artigo propõe um truque: tratar a corrente 11 como uma incógnita provisória, começar com M11 = 0 (como no início de funcionamento da planta) e refinar até convergir.

Diluição antes do 2º estágio. As correntes 10 e 11 são mais concentradas ou mais diluídas que X9 e precisam ser ajustadas com água branca até a consistência da corrente 9. O artigo calcula as duas diluições separadamente (M13A para a corrente 10 e M13B para a 11) e depois as soma em M13. O resultado líquido é o mesmo que o balanço do nó:

M13 = [M10 · (X10 − X9) + M11 · (X11 − X9)] / (X9 − CCAB)

M9 = M10 + M11 + M13

Um detalhe curioso: no exemplo, a corrente 11 (0,143%) é mais diluída que X9 (0,24%). Nesse caso, M13B isolada fica negativa, porque nenhuma água branca de 0,06% conseguiria espessar a corrente. Isso não é erro: o que importa fisicamente é a soma M13, que é positiva. Por isso o simulador trabalha com a forma líquida.

Segundo estágio. Aceite e rejeito se repartem pela proporção volumétrica:

M8 = (VAC2 / VA2) · M9   M12 = (VR2 / VA2) · M9

Alimentação do terceiro estágio. O rejeito do 2º (corrente 12, a FE·X9) é diluído com água branca (corrente 7) até X5. O balanço de sólidos dá:

M5 = M12 · (X12 − X7) / (X5 − X7)   M7 = M5 − M12

Terceiro estágio. De novo, pela proporção volumétrica:

M11′ = (VAC3 / VA3) · M5   M4 = (VR3 / VA3) · M5

Teste de convergência. Compara-se o M11′ recém-calculado com o M11 que entrou na diluição. Se |M11′ − M11| < E, o balanço está fechado. Se não, atribui-se M11 = M11′ e repete-se. É o que o fluxograma da figura 3 do artigo descreve: cálculos preliminares, laço dos estágios 2 e 3 até o erro cair abaixo de E, cálculos finais.

6.5 Fechamento global: massa espessa e água branca nova

Com o circuito convergido, restam duas vazões de entrada. A corrente 3 sai do balanço global de sólidos. Como as águas de diluição têm a consistência CCAB, os termos de 2, 7 e 13 se simplificam:

M3 = [M1 · (X1 − CCAB) + M4 · (X4 − CCAB)] / (X3 − CCAB)

A corrente 2 sai do balanço global de massa:

M2 = M1 + M4 − M7 − M13 − M3

E a mistura que alimenta o primeiro estágio, junto com a corrente 2, é:

M14 = M8 + M3   X14 = (M8 · X8 + M3 · X3) / M14

A massa seca de qualquer corrente é o produto da vazão total pela consistência, Mj · Xj.

6.6 Número de cleaners e pressão

O número de elementos em cada estágio é a vazão de alimentação do estágio dividida pela vazão de um cleaner:

N1 = M6 / (VA1 · 60)   N2 = M9 / (VA2 · 60)   N3 = M5 / (VA3 · 60)

A primeira rodada raramente dá números inteiros. O artigo oferece dois caminhos: alterar as consistências dos estágios até que o N saia inteiro, ou, quando não se quer mexer nelas, alterar a vazão de alimentação de cada cleaner (mantendo ou não a vazão de rejeito) e estimar o novo diferencial de pressão pela relação:

(Q1 / Q2)² = ΔP1 / ΔP2

onde Q1 e ΔP1 são os valores no ponto ótimo, e Q2 e ΔP2, os da operação.

7. Uma solução fechada para o laço (extensão deste post)

O que se segue não está no artigo: é uma observação minha, útil como verificação independente. Todas as equações do laço são lineares em M9 e M11. Definindo

k = (VAC3/VA3) · (VR2/VA2) · (X12 − CCAB) / (X5 − CCAB)

o laço se reduz a M11 = k · M9, e a equação do nó de mistura fica

M9 = M10 · (X10 − CCAB) / [(X9 − CCAB) − k · (X11 − CCAB)]

Isso tem duas consequências práticas. Primeiro, a iteração do artigo converge com razão k · (X11 − CCAB) / (X9 − CCAB). No exemplo, esse valor é da ordem de 0,15, então cada passada reduz o erro a cerca de um sexto do anterior; por isso bastam cerca de 14 iterações para chegar a 10⁻⁶ kg/h. Segundo, o denominador precisa ser positivo. Se ele chega a zero ou fica negativo, a recirculação não se estabiliza: o 3º estágio devolveria ao 2º mais fibra do que o sistema consegue eliminar. O simulador compara os dois resultados e avisa quando isso ocorre.

8. O exemplo numérico do artigo

As condições são as da tabela da seção 5. Os resultados publicados no artigo (Tabela 1) são:

Corrente	Vazão total (kg/h)	Massa seca (kg/h)	Consistência (%)
1	207.078,70	927,36	0,45
2	3.571,00	2,14	0,06
3	117.488,99	881,17	0,75
4	1.800,30	8,64	0,48
5	36.124,91	57,80	0,16
6	217.882,06	1.089,41	0,50
7	30.651,45	18,39	0,06
8	96.822,06	206,10	0,21
9	102.295,53	245,51	0,24
10	10.803,36	162,05	1,50
11	34.324,61	49,16	0,14
12	5.473,47	39,41	0,72
13	57.167,57	34,30	0,06
14	214.311,06	1.087,27	0,51

O artigo informa 6 cleaners no 1º estágio, 3 no 2º e 1 no 3º. Para chegar a números inteiros nessas condições, foi preciso alterar a vazão de alimentação de cada elemento, para 605,04; 560,68 e 601,98 L/min, respectivamente, todas próximas da condição ótima de 600. Os diferenciais de pressão estimados ficam em 1,52; 1,31 e 1,51 kgf/cm².

Algumas leituras do resultado:

• A perda de fibra é pequena. O rejeito final (corrente 4) leva 8,64 kg/h de fibra, cerca de 0,93% da produção seca de 927,36 kg/h. Com 15% de perda por estágio isolado, a cascata derruba esse número por um fator da ordem de cem.
• O primeiro estágio sozinho é pesado. A corrente 6 tem 217.882 kg/h, mais de 200 vezes a produção seca em vazão total, por causa da baixa consistência de trabalho.
• A água branca nova é pequena. A corrente 2 (3.571 kg/h) é uma fração modesta do total. Se ela ficasse negativa, o projeto seria inviável: o balanço exigiria retirar água do sistema.
• A recirculação é grande. A corrente 9 (102.296 kg/h) é quase metade da corrente 6, e boa parte dela é água branca de diluição (corrente 13: 57.168 kg/h).

Reprodução no simulador. Com as vazões por cleaner acima e o modo de vazão informada, o simulador reproduz a Tabela 1 até a segunda casa decimal em todas as correntes. Há uma pequena inconsistência no próprio artigo, que vale registrar: com 3 cleaners no 2º estágio, a vazão M9 de 102.295 kg/h corresponde a cerca de 568 L/min por elemento, e não a 560,68. O resultado publicado (N2 = 3,04, se calculado) foi obtido com 560,68. Se você fixar 3 cleaners no modo de número inteiro, o simulador ajusta as vazões até o sistema ser autoconsistente, e as correntes 5, 7, 11 e 12 diferem do artigo em cerca de 1% a 1,5%. Considero isso um arredondamento do original, e não um erro de cálculo de nenhum dos lados.

9. O simulador

Como usar:

• Os campos já vêm com o caso do artigo. O botão “Restaurar o caso do artigo (Tabela 1)” volta a esses valores.
• No modo vazão por cleaner informada, você define VA e VR de cada estágio e o simulador calcula o número de cleaners, que sai fracionário, com a sugestão de arredondamento.
• No modo número inteiro de cleaners, você define N em cada estágio e o simulador ajusta a vazão de cada elemento até o sistema ficar autoconsistente (VA por cleaner = vazão do estágio / (N · 60)), mantendo VR por cleaner constante. Em seguida, estima o ΔP pela relação quadrática.
• Todas as correntes são recalculadas juntas: mexer em X9, por exemplo, muda 10, 11, 13, 9, 8, 12, 5, 7, 4, 3, 2 e 14.
• Doze verificações de fechamento (balanços de massa e de sólidos em cada estágio e em cada nó) aparecem no final. O maior resíduo deve ficar na ordem de 10⁻⁶ kg/h.
• O simulador compara M9 obtido por iteração (como no artigo) com M9 pela solução fechada da seção 7.

10. O que foi assumido, e por quê

Todo balanço de massa é uma simplificação. A tabela deixa claro quais foram as de aqui, de onde vêm e o que muda se elas falham.

Premissa	Por que foi adotada	Se não valer
Regime permanente	O artigo calcula um ponto de operação; sem acúmulo nos tanques, o balanço é algébrico	Partidas, paradas e quebras exigem modelo dinâmico
Massa específica de 1 kg/L em todas as correntes	O artigo usa essa hipótese para converter vazão volumétrica em mássica; com consistências abaixo de 2% o erro é pequeno	Em consistências altas ou com cargas minerais pesadas, a conversão perde exatidão
Toda água de diluição (2, 7 e 13) tem a consistência da água branca (CCAB)	Simplifica os balanços e é o que o artigo adota; a água branca vem de um mesmo circuito	Se houver água clarificada ou fresca com consistência diferente, cada corrente precisa do seu X
Razão de rejeito volumétrica constante (VR/VA) em cada cleaner	O fabricante fornece o ponto ótimo; adotar vazões fixas mantém o cálculo linear	Variações de consistência, desgaste do bico e pressão alteram a razão real de rejeito
FE único e constante nos três estágios	O artigo define uma única relação rejeito/alimentação; reduz o número de parâmetros	FE depende da consistência, da vazão de rejeito e do tamanho do cleaner; estágios com X diferentes terão FE diferentes
Balanço de fibra total, sem rastrear contaminantes	É o escopo do artigo: fechar vazões e consistências, base para qualquer análise posterior	Eficiência de remoção de areia, plásticos etc. exige balanços por espécie
A massa seca da corrente 1 é a produção dividida pela retenção de 1ª passagem (100% no artigo)	O artigo iguala M1·X1 à produção seca; é a fronteira mais simples do balanço	Se a retenção for menor, a corrente 1 carrega mais sólidos que a produção; o simulador traz o campo de retenção para ajustar
Corrente 3 e corrente 2 são resultados, não entradas	O sistema tem duas equações globais (massa e sólidos) para duas incógnitas	Se a vazão de massa espessa for fixada por outra restrição, é preciso escolher outra variável livre
Mistura perfeita nos pontos de diluição	Permite usar balanços de nó simples	Má mistura gera consistência instantânea diferente da média
Diluição das correntes 10 e 11 até X9 num único nó (soma M13)	O resultado líquido é idêntico ao da diluição separada do artigo, e evita a M13B negativa	Nenhum efeito sobre o balanço; apenas muda a forma de apresentar
ΔP proporcional ao quadrado da vazão por cleaner	Relação do artigo, típica de escoamento por orifício	Longe do ponto ótimo, a curva real do fabricante prevalece
VR por cleaner mantida constante no modo de número inteiro	O artigo admite manter a vazão de rejeito quando se ajusta a alimentação	Se VR variar com a alimentação, a razão de rejeito e a perda de fibra mudam

Uma premissa merece destaque: a razão de rejeito constante. É ela que torna o problema linear e, portanto, resolvível por iteração simples ou em forma fechada. Em uma planta, o rejeito dos cleaners é regulado pelo bico de saída e pela pressão, e vale medir em campo.

11. Limitações e próximos passos

O balanço do artigo é uma boa base de projeto, mas não substitui medição. Algumas extensões naturais:

• Rastrear contaminantes. Adicionar um balanço para uma espécie (por exemplo, areia) com eficiência de remoção por estágio. A estrutura de correntes e vazões do artigo permanece; só se acrescenta uma coluna de concentração.
• FE variável. Substituir o FE constante por uma função da consistência de alimentação e da razão de rejeito, ajustada com dados do fabricante ou da planta.
• Otimização. Escolher X6, X9 e X5 para minimizar a perda de fibra ou o consumo de energia, com N inteiro, usando o simulador como função de avaliação.
• Validação. Comparar as consistências calculadas com amostragens nas correntes 1, 4, 5, 9 e 11. Diferenças sistemáticas apontam para premissas que não se confirmam, em geral a razão de rejeito e o FE.
• Dinâmica. Para estudar partidas e quebras, transformar os nós de mistura em tanques com acúmulo.

O próprio artigo aponta a vantagem de usar métodos numéricos: rapidez e precisão, evitar perda de tempo no acerto de equipamentos e permitir conhecer a influência de uma variável do processo sem precisar alterá-la durante a fabricação. O simulador deste post segue a mesma ideia.

12. Conclusão

O método de Neves resolve o problema central de um centrilimpador em cascata: como fechar um balanço em que o aceite do último estágio realimenta o penúltimo. A solução é tratar a corrente de recirculação como incógnita, iterar até a variação ficar abaixo de uma tolerância e, só então, calcular as vazões que dependem do circuito já fechado, ou seja, a massa espessa, a água branca nova, o número de cleaners e o diferencial de pressão.

Três ideias valem levar daqui. Primeiro, as consistências dos estágios são decisões de projeto, e o balanço diz o que elas custam em vazão e em fibra perdida. Segundo, a razão de rejeito e o FE determinam quanta fibra cada estágio devolve ao circuito, e portanto o tamanho da recirculação. Terceiro, um balanço só vale tanto quanto suas premissas; por isso elas estão listadas de forma explícita na seção 10.

Se você tem dados de planta, o melhor uso do simulador é comparar: carregue suas consistências e vazões, veja onde o cálculo diverge da medição e investigue qual premissa está sendo violada.

Referências

Fonte principal

NEVES, Fernando Luiz. Método numérico para cálculo de balanço de massa em hidrociclones operando em três estágios. O Papel, São Paulo, jul. 1995, p. 44–49. O autor atuava na engenharia de processo/produto da Limeira S/A.

Citadas pelo artigo

SMOOK, Gary A. Handbook for Pulp and Paper Technologists. 2. ed. Angus Wilde Publications, 1992.

GONÇALVES, Rui Gomes. Balanço de fluxo para máquina de papel: uma aplicação prática. O Papel, out. 1992, p. 27–43.